哲学史

拓扑学

        拓扑学最早称之“位相分析学”(analysis situs),是莱布尼茨1679年提出的,这是一门研究地形、地貌相类似的学科,当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。关于莱布尼茨对拓扑学的贡献,尚存争论。Mates引用Jacob Freudenthal 1954年一篇论文里的话说:

尽管莱布尼茨认为一列点在空间中的位置是由其间距离唯一决定的——当且仅当距离发生变化时点的位置发生相应的改变——他的仰慕者欧拉,在他著名的一篇论文(1736年发表,解决了柯尼斯堡七桥问题及其推广)中,却是在“拓扑变形时点的位置不发生变化”的意义下使用“几何位置”这个名词的。他误信了莱布尼茨是这个概念的创始者。……人们常常意识不到莱布尼茨是在完全不同的意义下使用这个名词的,因此被尊为数学的这个分支领域的奠基人并不恰当。

        但平野秀秋(Hideaki Hirano)持有不同看法,他引用本华·曼德博的话说:

在莱布尼茨海量的科学成果中探索是发人深省的体验。除了微积分以及其他已经完成的研究之外,大量涉及内容广泛且极富前瞻性的研究对科学发展的推动力势不可挡。在“填充理论”上即有例子,……在发现莱布尼茨还曾经关注过几何度量的重要性之后,我对他的狂热更甚了。在“欧几里德普罗塔”中,……欧几里德公理更加严格,他陈述道,“……对直线,我有数种不同的定义。直线是曲线的一种,而曲线的任何部分都是和整体相似的,因此直线也具有这种特性;这不仅适用于曲线,而且适用于集合。”这个论断今天已经可以被证明。

        因而分形几何(由本华·曼德博发扬光大)理论在莱布尼茨的自相似性思想和连续性原理中寻求支持:大自然没有跳跃(拉丁语natura non facit saltus,英语"nature does not make jumps")。当莱布尼茨在他的形而上学著作中写道“直线是曲线的一种,其任何部分都是和整体类似的”时,他实际上提前两个世纪预言了拓扑学的诞生。至于“填充理论”,莱布尼茨对他的朋友Des Bosses说,“你想象一个圆,然后用三个全等的最大半径的圆填满它,后来的三个小圆又可以以同样的过程被更小的圆填充”。这个过程可以无限地继续下去,并由此生发出了自相似性的思想。莱布尼茨对于欧氏公理的改进亦包含同样的概念。